Bồi dưỡng và phát triển tư duy trong giải Toán học Lớp 8 Đại số (Tập 1)

 Website:tailieumontoan.com 1 
BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
ĐỘT PHÁ TRONG GIẢI 
TOÁN HỌC 8 
TẬP 1 
ĐẠI SỐ 
THEO CHUẨN KIẾN THỨC KĨ NĂNG 
 Tóm tắt lí thuyết căn bản 
 Giải chi tiết, phân tích, bình luận, hướng dẫn làm bài dành cho học sinh lớp 8 
và chuyên Toán. 
 Tham khảo cho phụ huynh và giáo viên. 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
LỜI NÓI ĐẦU 
Sách giáo khoa Toán 8 hiện hành được biên soạn theo tinh thần đổi mới 
của chương trình và phương pháp dạy – học, nhằm nâng cao tính chủ động, 
tích cực của học sinh trong quá trình học tập. 
Tác giả xin trân trọng giới thiệu cuốn sách “BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT 
TRIỂN TƯ DUY ĐỘT PHÁ TRONG GIẢI TOÁN HỌC 8”, được viết với 
mong muốn gửi tới các thầy cô, phụ huynh và các em học sinh một tài liệu 
tham khảo hữu ích trong dạy và học môn Toán ở cấp THCS theo định hướng 
đổi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 
Cuốn sách được cấu trúc gồm các phần: 
- Kiến thức căn bản cần nắm: Nhắc lại những kiến thức cơ bản cần 
nắm, những công thức quan trọng trong bài học, có ví dụ cụ thể 
- Bài tập sách giáo khoa, bài tập tham khảo: Lời giải chi tiết cho các bài 
tập, bài tập được tuyển chọn từ nhiều nguồn của môn Toán được chia bài tập 
thành các dạng có phương pháp làm bài, các ví dụ minh họa có lời giải chi 
tiết...Có nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán... 
Cuốn sách này còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho quí thầy cô giáo và 
các bậc phụ huynh học sinh để hướng dẫn, giúp đỡ các em học tập tốt bộ 
môn Toán. 
 Các tác giả 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................... Trang 
PHẦN 1. ĐẠI SỐ ................................................................................ Trang 
CHƯƠNG I. PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC ......... Trang 
Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức ...................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 2. Nhân đa thức với đa thức ........................................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ ........................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 4. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tt) .................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tt) .................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
Bài 6. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử......................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 7. Chia đơn thức cho đơn thức ..................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 8. Chia đa thức cho đơn thức ....................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 9. Chia đa thức một biến đã sắp xếp ........................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
CHƯƠNG 2. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ............................................... Trang 
Bài 1. Chuyên đề kiến thức mở đầu về phân thức đại số ............... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
Bài 2. Chuyên đề cộng trừ nhân chia phân thức đại số .................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ............. Trang 
 Bài 1. Mở đầu về phương trình. Phương trình bậc nhất môt ẩn .. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
 Bài 2. Phương trình đưa về dạng ax+ b =0 ....................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
 Bài 3. Phương tình tích........................................................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
 Bài 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Bài tập tổng hợp ................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
 Bài 5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình............................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
 CHƯƠNG 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .. Trang 
Bài 1. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, giữa thứ tự và phép nhân.Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn .......................................... Trang 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 3. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
CHƯƠNG I. PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC 
BÀI 1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Hãy làm theo các hướng dẫn sau: 
• Viết một đơn thức bậc 3 gồm hai biến x, y; một đa thức có ba hạng tử 
bậc 3 gồm hai biến x, y. 
Ví dụ 
Đơn thức bậc 3 gồm hai biến x, y là x2y 
Đa thức có ba hạng tử bậc 3 gồm hai biến x, y là x2y + xy +1 
• Hãy nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức vừa viết. 
 x2y.x2y = x4y2 ; x2y.xy = x3y2; x2y.1 = x2y 
• Hãy cộng các tích tìm được 
 S = x4y2 + x3y2 + x2y 
2. Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với 
từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau. 
 A(B+C) = AB + AC 
3. Áp dụng: Làm tính nhân 
3 2 3 3 3 2 3 3
4 4 3 3 2 4
1 1 1 13x 6x 3x .6x .6x .6x
2 5 2 5
618x 3x
5
y x xy y y y x y xy y
y y x y
 − + = − + 
 
= − +
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Thực hiện phép nhân: 
a) (-5x2)(3x3 – 2x2 + x -1) b) 3 2 1 14x
3 4 2
y yz xy  − + − −  
  
c) (-7mxy2)(8m2x – 3my + y2 – 4ny) d) -3a2b(4ax + 2xy – 4b2y) 
Bài giải 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
a) (-5x2)(3x3 – 2x2 + x -1) = -15x5 + 10x4 – 5x3 + 5x2 
b) 3 4 2 2
2 1 1 1 14x 2x
3 4 2 3 8
y yz xy y xy xy z  − + − − = − +  
  
c) (-7mxy2)(8m2x – 3my + y2 – 4ny) = -56m3x2y2 + 21m2xy3 – 7mxy4 + 28mnxy3 
d) -3a2b(4ax + 2xy – 4b2y) = -12a3bx – 6a2bxy + 12a2b3y 
Bài 2. Tính: 
a) 3x2y(2x2 – y) – 2x2(2x2y – y2) 
b) 3x2(2y – 1) – [2x2(5y – 3) – 2x(x – 1)] 
c) 2(x2n + 2xnyn + y2n) – yn(4xn + 2yn) (n ∈N) 
d) 3xn-2(xn+2 – yn+2) + yn+2(3xn-2 – yn-2) (n∈N, n >1) 
e)4n+1 – 3.4n (n∈N) 
f) 63.38.28 – 66(65 – 1) 
Bài giải 
a) 3x2y(2x2 – y) – 2x2(2x2y – y2) = 6x4y – 3x2y2 – 4x4y + 2x2y2 
 = 2x4y – x2y2 
b) 3x2(2y – 1) – [2x2(5y – 3) – 2x(x – 1)] = 6x2y – 3x2 – 10x2y + 6x2 + 2x2 – 2x 
 = -4x2y + 5x2 – 2x 
c) 2(x2n + 2xnyn + y2n) – yn(4xn + 2yn) = 2x2n + 4xnyn + 2y2n – 4xnyn – 2y2n 
 = 2x2n 
d) 3xn-2(xn+2 – yn+2) + yn+2(3xn-2 – yn-2) = 3x2n – 3xn-2yn+2 + 3xn-2yn+2 – y2n 
 = 3x2n – y2n 
e) 4n+1 – 3.4n = 4.4n – 3.4n = 4n 
f) 63.38.28 – 66.(65 - 1) = 611 – 611+ 65 = 65 
Bài 3. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: 
a) 3x(x – 5y) + ( y -5x)(-3y) -1 -3(x2 – y2) 
b) x(x3 + 2x2 - 3x +2) – ( x2 + 2x)x2 + 3x(x – 1) +x -12 
c) 3xy2(4x2 – 2y) – 6y(2x3y + 1) + 6(xy3 + y -3) 
d) 2(3xn+1 – yn-1) + 4(xn+1 + yn-1) -2x(5xn + 1) – 2(yn-1 –x + 3) (n∈N*) 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
Bài giải 
a) 3x(x – 5y) + ( y -5x)(-3y) -1 - 3(x2 – y2) 
 = 3x2 – 15xy – 3y2 + 15xy – 1 – 3x2 + 3y2 
 = - 1 
b) x(x3 + 2x2 -3x +2) – ( x2 + 2x)x2 + 3x(x – 1) +x -12 
 = x4 + 2x3 – 3x2 + 2x – x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + x -12 
 = -12 
c) 3xy2(4x2 – 2y) – 6y(2x3y + 1) + 6(xy3 + y -3) 
 = 12x3y2 – 6xy3 – 12x3y2 – 6y + 6xy3 + 6y – 18 
 = -18 
d) 2(3xn+1 – yn-1) + 4(xn+1 + yn-1) -2x(5xn + 1) – 2(yn-1 –x + 3) 
 = 6xn+1 – 2yn-1 + 4xn+1 + 4yn-1 – 10xn+1 – 2x – 2yn-1 + 2x – 6 
 = - 6 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
BÀI 2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Hãy làm theo các hướng dẫn sau 
• Hãy viết một đa thức ba hạng tử bậc 3 một ẩn x; một đa thức ba hạng tử 
bậc 4 một ẩn x. 
Ví dụ 
Đa thức ba hạng tử bậc 3 một ẩn x là x3 + x +1 
Đa thức ba hạng tử bậc 4 một ẩn x là x4 + x2 + 1 
• Hãy nhân mỗi hạng tử của đa thức này với đa thức kia. 
 x3(x4 + x2 + 1) = x7 + x5 + x3; 
 x(x4 + x2 + 1) = x5 + x3 + x; 
 1(x4 + x2 + 1) = x4 + x2 + 1; 
• Hãy cộng các kết quả vừa tìm được. 
 S = x7 + x5 + x3 + x5 + x3 + x + x4 + x2 + 1 = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 1 
2. Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của 
đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau. 
 (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD 
3. Áp dụng: Làm tính nhân 
( )( )2 3 2 2 3 23 3x 5 3 5 3 9 15 6 4 15x x x x x x x x x x+ + − = + − + + − = + + − 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 4. Thực hiện phép nhân: 
a) (2x + 3y)(2x – 3xy +4y) b) (2a – 1)(a2 – 5 + 2a) 
c) (5y2 – 11y + 8)(3 – 2y) d) (x + 1)(x – 2)(2x – 1) 
e) (x – 2)(3x + 1)(x + 1) f) (3x2 + 11 – 5x)(8x -6 + 2x2) 
g) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) h) (x2 + x +1)(x3 – x2 + 1) 
i) (x2n + xnyn + y2n)(xn – yn)(x3n + y3n) (n ∈ N) 
j) (a + b + c)(a2 + b2 +c2 – ab –bc – ca) 
k)* (a + b + c + d)(a2 + b2 + c2 + d2 – ab –ac – ad – bc – bd –cd) 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
Bài giải 
a) (2x + 3y)(2x – 3xy +4y) = 4x2 – 6x2y + 8xy + 6xy – 9xy2 + 12y2 
 = 4x2 – 6x2y + 14xy – 9xy2 + 12y2 
b) (2a – 1)(a2 – 5 + 2a) = 2a3 – 10a + 4a2 – a2 + 5 – 2a 
 = 2a3 + 3a2 – 12a + 5 
c) (5y2 – 11y + 8)(3 – 2y) = 15y2 – 10y3 – 33y + 22y2 + 24 – 16y 
 = - 10y3 + 37y2 – 49y + 24 
d) (x + 1)(x – 2)(2x – 1) = (x2 – x – 2)(2x – 1) 
 = 2x3 – x2 – 2x2 + x – 4x + 2 
 = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 
e) (x – 2)(3x + 1)(x + 1) = (3x2 – 5x – 2)(x + 1) 
 = 3x3 + 3x2 – 5x2 – 5x – 2x – 2 
 = 3x3 – 2x2 – 7x – 2 
f) (3x2 + 11 – 5x)(8x - 6 + 2x2) 
 = 24x3 – 18x2 + 6x4 + 88x – 66 + 22x2 – 40x2 + 30x – 10x3 
 = 6x4 – 14x3 – 36x2 + 118x – 66 
g) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) 
 = x7 – x6 + x4 – x3 + x2 + x6 – x5 + x3 – x2 + x + x5 – x4 + x2 – x + 1 
 = x7 + x2 + 1 
h) (x2 + x +1)(x3 – x2 + 1) = x5 – x4 + x2 + x4 – x3 + x + x3 – x2 + 1 
 = x5 + x + 1 
i) (x2n + xnyn + y2n)(xn – yn)(x3n + y3n) = (x3n – y3n))(x3n + y3n) 
 = x6n - y6n 
j) (a + b + c)(a2 + b2 +c2 – ab –bc – ca) 
 = a3 + ab2 + ac2 – a2b – abc – a2c + a2b + b3 + bc2 – ab2 – b2c – abc + a2c + b2c + c3 
 – abc – bc2 – ac2 
 = a3 + b3 + c3 – 3abc 
k)* (a + b + c + d)(a2 + b2 + c2 + d2 – ab –ac – ad – bc – bd –cd) 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
= a3 + ab2 + ac2 + ad2 – a2b – a2c – a2d – abc – abd – acd + a2b + b3 + bc2 + bd2 – 
ab2 – abc – abd – b2c – b2d – bcd + a2c + b2c + c3 + cd2 – abc – ac2 – acd – bc2 – 
bcd – c2d + a2d + b2d + c2d + d3 – abd – acd – ad2 – bcd – bd2 – cd2 
 = a3 + b3 + c3 + d3 – 3abc – 3abd – 3acd – 3bcd 
Bài 5. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
a) x(x3 + x2 -3x +2) – (x2 – 2)(x2 + x +3) + 4(x2 – x – 2) 
b) (x – 3)(x + 2) + (x – 1)(x + 1) – (2x – 1)x 
c) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 
d) (x + 5)(x + 4)(x – 2) – (x2 + 11x – 9)(x + 1) + 5x2 
Bài giải 
a) x(x3 + x2 -3x +2) – (x2 – 2)(x2 + x +3) + 4(x2 – x – 2) 
 = x4 + x3 – 3x2 + 2x – x4 – x3 – 3x2 + 2x2 + 2x + 6 + 4x2 – 4x – 8 
 = -8 
b) (x – 3)(x + 2) + (x – 1)(x + 1) – (2x – 1)x 
 = x2 – x – 6 + x2 – 1 – 2x2 + x 
 = - 7 
c) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 
 = x3 + 1 – x3 + 1 = 2 
d) (x + 5)(x + 4)(x – 2) – (x2 + 11x – 9)(x + 1) + 5x2 
 = x3 + 7x2 + 2x – 40 – x3 – x2 – 11x2 – 11x + 9x + 9 + 5x2 
 = 9 
Bài 6. Xác định hệ số a, b, c biết: 
a) (x2 + cx + 2)(ax + b) = x3 – x2 + 2 với mọi x 
b) (ay2 + by + c)(y + 3) = y3 + 2y2 – 3y với mọi y 
Bài giải 
a) Ta có (x2 + cx + 2)(ax + b) = ax3 + bx2 + acx2 + bcx + 2ax + 2b 
 = ax3 + (b + ac)x2 + (bc + 2a)x + 2b 
 = x3 – x2 + 2. 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
Suy ra 
1
1
2a 0
2 2
a
b ac
bc
b
=
 + = −
 + =
 =
 ⇔ 
1
1
2
a
b
c
=
 =
 = −
b) (ay2 + by + c)(y + 3) = ay3 + 3ay2 + by2 + 3by + cy + 3c 
 = ay3 + (3a + b)y2 + (3b + c)y + 3c 
 = y3 + 2y2 – 3y. 
 Suy ra 
1
3 2
3 3
3 0
a
a b
b c
c
=
 + =
 + = −
 =
 ⇔
1
1
0
a
b
c
=
 = −
 =
Bài 7. Chứng minh bất đẳng thức: 
a) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 
b) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc 
c) (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz – 2zx 
d) (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2zx 
e) (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) = x4 – y4 
f) (x + y)(x4 – x3y +x2y2 – xy3 + y4) = x5 + y5 
g) (x + y + z)(x2 + y2 + z2 –xy –yz – zx) = x3 + y3 + z3 – 3xyz 
h) * (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) 
Bài giải 
a) (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab 
 = x2 + (a + b)x + ab 
b) (x + a)(x + b)(x + c) = (x2 + bx + ax + ab)(x + c) 
 = x3 + cx2 + bx2 + bcx + ax2 + acx + abx + abc 
 = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x + abc 
c) (x – y – z)2 = (x – y)2 – 2(x – y)z + z2 
 = x2 – 2xy + y2 – 2xz + 2yz + z2 
 = x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz – 2zx 
d) (x + y – z)2 = (x + y)2 – 2(x + y)z + z2 
 = x2 + 2xy + y2 – 2xz – 2yz + z2 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2zx 
e) (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) = x4 + x3y + x2y2 + xy3 – x3y – x2y2 – xy3 – y4 
 = x4 – y4 
f) (x + y)(x4 – x3y +x2y2 – xy3 + y4) 
 = x5 – x4y + x3y2 – x2y3 + xy4 + x4y – x3y2 + x2y3 – xy4 + y5 
 = x5 + y5 
g) (x + y + z)(x2 + y2 + z2 –xy –yz – zx) 
 = x3 + xy2 + xz2 – x2y – xyz – zx2 + x2y + y3 + yz2 – xy2 – y2z – xyz + zx2 + y2z + 
z3 – xyz – yz2 – z2x 
 = x3 + y3 + z3 – 3xyz 
h)* (x + y + z)3 = (x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3 
 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + 3zx2 + 6xyz + 3y2z + 3z2x + 3yz2 
 = x3 + y3 + z3 + (3x2y + 3zx2) + (3xyz + 3z2x) + (3xy2 + 3xyz) + (3yz2 + 3y2z) 
 = x3 + y3 + z3 + (3x2 + 3zx + 3xy + 3yz)(y + z) 
 = x3 + y3 + z3 + 3[x(z + x) + y(z + x)](y + z) 
 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) 
Bài 8. Tìm x: 
a) 3(1 – 4x)(x – 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 38 
b) 5(2x + 3)(x + 2) – 2(5x – 4)(x – 1) = 75 
c) 2x2 + 3(x – 1)(x + 1) = 5x(x + 1) 
d) (8 – 5x)(x + 2) + 4( x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) = 0 
e) (x – 2)(x – 1) = x(2x + 1) + 2 
f) (x + 2)(x + 2) – (x – 2)(x – 2) = 8x 
g) (2x -1)(x2 – x + 1) = 2x3 – 3x2 + 2 
h) (x + 1)(x2 + 2x + 4) – x3 – 3x2 + 16 = 0 
i) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27 
Bài giải 
a) 3(1 – 4x)(x – 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 38 
 ⇔ 3x – 3 – 12x2 + 12x + 12x2 + 36x + 8x + 24 = 28 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
 ⇔ 59x = 7 ⇔ x = 
7
59
b) 5(2x + 3)(x + 2) – 2(5x – 4)(x – 1) = 75 
 ⇔ 10x2 + 20x + 15x + 30 – 10x2 + 10x + 8x – 8 =75 
 ⇔ 53x = 53 ⇔ x = 1 
c) 2x2 + 3(x – 1)(x + 1) = 5x(x + 1) ⇔ 2x2 + 3x2 – 3 = 5x2 + 5x 
 ⇔ 5x = - 3 ⇔ x = 3
5
− 
d) (8 – 5x)(x + 2) + 4( x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) = 0 
 ⇔ 8x + 16 – 10x2 – 10x + 4x2 + 4x – 8x – 8 + 2x2 – 8 = 0 
⇔ - 4x2 – 6x = 0 ⇔ - 2x(2x – 3) = 0 ⇔ 
0
3
2
x
x
=

 =

e) (x – 2)(x – 1) = x(2x + 1) + 2 ⇔ x2 – 3x + 2 = 2x2 + x + 2 
 ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0⇔ 0
4
x
x
=
 = −
f) (x + 2)(x + 2) – (x – 2)(x – 2) = 8x ⇔ x2 + 4x + 4 – x2 + 4x – 4 = 8x 
 ⇔ 8x = 8x ⇔ x ∈ R 
g) (2x -1)(x2 – x + 1) = 2x3 – 3x2 + 2 ⇔ 2x3 – 2x2 + 2x – x2 + x – 1 = 2x3 – 3x2 + 2 
 ⇔ 3x = 3⇔ x = 1 
h) (x + 1)(x2 + 2x + 4) – x3 – 3x2 + 16 = 0 
⇔ x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + 4 – x3 – 3x2 + 16 = 0 
⇔ 6x = 20 ⇔ x = 10
3
i) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27 ⇔ (x2 + 3x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27 
⇔ x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 – x3 – 8x2 = 27 
⇔ 17x = 17 ⇔ x = 1 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
BÀI 3. NHỮNG HẰNG ĐĂNG THỨC ĐÁNG NHỚ 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Thực hiện phép tính: (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta cũng có 
Bình phương của một tổng (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
3. Áp dụng: 
a) Tính (a + 1)2 
 (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 
b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng. 
 x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 
c) Tính nhanh: 
 512 = (50 + 1) = 502 + 2.50.1 + 12 = 2601 
 3012 = (300 + 1)2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90601 
4. Thực hiện phép tính 
 [a + (-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2 
5. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta cũng có: 
 Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 -2AB + B2 
6. Áp dụng 
 a) Tính 
2 2
2 21 1 1 12x 2x
2 2 2 4
x x x   − = − + = − +   
   
 b) Tính (2x – 3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2 
 c) Tính nhanh 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2.100.1 + 12 = 9801 
7. Thực hiện phép tính: 
 (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 
8. Với A và là các biểu thức tùy ý, ta cũng có: 
 Hiệu hai bình phương A2 – B2 = (A + B)(A – B) 
9. Áp dụng 
 a) Tính (x + 1)(x-1) = x2 – 1 
 b) Tính (x – 2y)(x + 2y) = x2 – 4y2 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
 c) Tính nhanh 56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 602 – 42 = 3600 – 16 = 3584 
Hỏi (x – 5)2 có bằng (5 –x)2 ? 
 (x – 5)2 = x2 -10x + 25; (5 – x)2 = 25 – 10x + x2 
 Vậy (x – 5)2 = (5 –x)2 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 9. Điền vào chỗ trống sau đây để có đẳng thức đúng: 
a) ( - )2 = a2 – 6ab + .. 
b) (. + ..)2 =  + m + 1
4
c) ( )2....... 2− = 9x2 -  + . 
d) . – 16y4 = (x - .)(x + ..) 
e) (x - )(x + ) = . – 3 
Bài giải 
a) (a – 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2 b) (m + 1
2
)2 = m2 + m + 1
4
c) (3x - 2 )2 = 9x2 - 6 2 x + 2 d) x2 – 16y4 = (x – 4y2)(x + 4y2) 
e) (x - 3 )(x + 3 ) = x2 – 3 
Bài 10. Điền vào chỗ trống để biểu thức sau trở thành bình phương của một 
tổng hoặc bình phương của một hiệu: 
a) 4a2x2 + 4abx + .. b) 1 + 2x2 - .. 
c) 25m2 – 40mn + . d)  - 3px + p2 
e) 16x2 +  -24xy 
Bài giải 
a) 4a2x2 + 4abx + b2 = ( 2ax + b)2 b) 1 + 2x2 - 2 2 x = (1 - 2 x)2 
c) 25m2 – 40mn + 16n2 = (5m – 4n)2 d) 9
4
x2 – 3px + p2 = ( 3
2
x – p)2 
e) 16x2 + 9y2 – 24xy = (4x – 3y)2 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
BÀI 4. NHỮNG HẰNG ĐĂNG THỨC ĐÁNG NHỚ (tiếp theo) 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Thực hiện phép tính: 
(a + b)(a + b)2 = (a + b)( a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 
 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta cũng có: 
 Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
3. Áp dụng: 
 a) Tính (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 
 b) Tính (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 
4. Thực hiện phép tính: 
 [a + (-b)]3 = a3 + 3a2(-b) + 3a(-b)2 + (-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
5. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta cũng có: 
 Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 
6. Áp dụng 
 a) Tính 
3 2 2
3 2 3 21 1 1 1 1 13x 3x
3 3 3 3 3 9
x x x x x     − = − + − = − + −     
     
 b) Tính (x – 2y)3 = x3 -3x2.2y + 3x(2y)2 – (2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 
7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
a) (2x – 1)2 = (1 – 2x)2; b) (x – 1)3 = (1 – x)3; 
c) (x + 1)3 = (1 + x)3; d) x2 – 1 = 1 – x2; 
e) (x – 3)2 = x2 – 2x + 9; 
Bài giải: 
a) Đúng b) Sai 
c) Đúng d) Sai e) Sai 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
BÀI 5. NHỮNG HẰNG ĐĂNG THỨC ĐÁNG NHỚ (tiếp theo) 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Thực hiện phép tính 
 (a + b)(a2 –ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3 
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta cũng có: 
 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 
3. Ta quy ước A2 – AB + B2 được gọi là bình phương thiếu của hiệu A – B 
4. Áp dụng: 
a) Tính x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) 
b) Viết (x + 1)(x2 – x + 1) ở dạng tổng: (x + 1)(x2 – x + 1) = x3 + 1 
5. Thực hiện phép tính: 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3 
6. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta cũng có: 
 Hiệu hai lập phương A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) 
7. Ta quy ước A2 + AB + B2 được gọi là bình phương thiếu của tổng A + B 
8. Áp dụng: 
a) Tính (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1 
b) Viết 8x3 – y3 dưới dạng tích: 
8x3 – y3 = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) 
* Bổ sung đầy đủ bảy hằng đẳng thức đáng nhớ sau: 
 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
 2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 
 3) A2 – B2 = (A + B)(A – B) 
 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
 5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 + B3 
 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 
 7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 19 
Bài 11. Tính: 
a) (3 – xy2)2 – (2 + xy2)2 b) 9x2 – (3x – 4)2 
c) (a – b2)(a + b2) d) (a2 + 2a + 3)(a2 +2a -3) 
e) (x – y + 6)(x + y – 6) f) (y + 2z – 3)(y -2z -3) 
g) (2y – 3)3 h) (2 – y)3 
i) (2y – 5)(4y2 + 10y + 25) j) (3y + 4)(9y2 – 12y + 16) 
k) (x – 3)3 + (2 – x)3 l) (x + y)3 – (x – y)3 
Bài giải 
a) (3 – xy2)2 – (2 + xy2)2 = 9 – 6xy2 + x2y4 – 4 – 4xy2 – x2y4 
 = 5 – 10xy2 
b) 9x2 – (3x – 4)2 = (3x – 3x + 4)(3x + 3x – 4) 
 = 4(6x – 4) = 24x – 16 
c) (a – b2)(a + b2) = a2 – b4 
d) (a2 + 2a + 3)(a2 +2a -3) = (a2 + 2a)2 – 9 
 = a4 + 4a3 + 4a2 – 9 
e) (x – y + 6)(x + y – 6) = x2 – (y – 6)2 
 = x2 – y2 + 12y – 36 
f) (y + 2z – 3)(y -2z -3) = (y – 3)2 – 4z2 
 = y2 – 6y – 4z2 + 9 
g) (2y – 3)3 = 8y3 – 36y2 + 54y – 27 
h) (2 – y)3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 
i) (2y – 5)(4y2 + 10y + 25) = 8y3 – 125 
j) (3y + 4)(9y2 – 12y + 16) = 27y3 + 64 
k) (x – 3)3 + (2 – x)3 = (x – 3 + 2 – x)[(x – 3)2 – (x – 3)(2 – x) + (2 – x)2] 
 = - (x 2 – 6x + 9 – 2x + x2 + 6 – 3x + 4 – 4x + x2) 
 = -3x2 + 15x + 19 
l) (x + y)3 – (x – y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 
 = 6x2y + 2y3 
Bài 12. Rút gọn biểu thức: 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 20 
a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2) 
b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x2 – 3x(x + 1)(x – 1) 
c) (2x + 1)2 + 2(4x2 – 1) + (2x – 1)2 
d) (m + n)2 – (m – n)2 + (m – n)(m + n) 
e) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 
f) (a – b + c)2 – 2(a – b + c)(c – b) + (b – c)2 
g) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) -64x4 
h) (a + b)3 + (a – b)3 – 2a3 
i) (x + y + z)2 + (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 – 3(x2 + y2 + z2) 
j) 1002 – 992 + 982 – 972 + .. + 22 – 1 
Bài giải 
a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2) = [(x2 + 2)2 – 4x2](x4 – 4) 
 = (x4 + 4x2 + 4 – 4x2)(x4 – 4) 
 = (x4 + 4)(x4 – 4) 
 = x8 – 16 
b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x2 – 3x(x + 1)(x – 1) 
 = (x + 1 – x + 1)(x + 1 + x – 1) + 3x2 – 3x(x2 – 1) 
 = 4x + 3x2 – 3x3 + 3x = - 3x3 + 3x2 + 7x 
c) (2x + 1)2 + 2(4x2 – 1) + (2x – 1)2 = 4x2 + 4x + 1 + 8x2 – 2 + 4x2 – 4x + 1 
 = 16x2 
d) (m + n)2 – (m – n)2 + (m – n)(m + n) 
 = (m + n – m + n)(m + n + m – n) + m2 – n2 
 = 4mn + m2 – n2 
e) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 
 = 16 
f) (a – b + c)2 – 2(a – b + c)(c – b) + (b – c)2 = (a – b + c + b – c)2 
 = a2 
g) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) -64x4 
 = (8x3 – 125)(8x3 + 125) = 64x6 - 1252 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 21 
h) (a + b)3 + (a – b)3 – 2a3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – 2a3 
 = 6ab2 
i) (x + y + z)2 + (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 – 3(x2 + y2 + z2) 
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2zx + z2 + y2 – 2yz + z2 – 3x2 
– 3y2 – 3z2 = 0 
j) 1002 – 992 + 982 – 972 + .. + 22 – 1 
 = (100 – 99) (100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +  + (4 – 3)(4 + 3) + (2 – 1)(2 + 1) 
 = 100 +99 + 98 + 97 +  + 2 + 1 
 = (100+1). 100 : 2 =5050 
Bài 13. Tìm x: 
a) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 b) 4x2 -81 = 0 
c) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 3 d) 25x2 – 2 = 0 
e) (x + 2)2 = (2x – 1)2 f) (x + 2)2 – x + 4 = 0 
g) (x2 – 2)2 + 4(x – 1)2 – 4(x2 -2)(x - 1) = 0 
Bài giải 
a) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 
 ⇔ x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 = 15 
 ⇔ 45x = 6 ⇔ x = 
2
15
b) 4x2 -81 = 0 ⇔ x2 = 81
4
 ⇔ x = 9
2
± 
c) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 3 ⇔ x3 – 25x – x3 + 8 = 3 
 ⇔ 25x = 5 ⇔ x = 1
5
d) 25x2 – 2 = 0 ⇔ x2 = 2
25
 ⇔ x = 2
5
± 
e) (x + 2)2 = (2x – 1)2 ⇔ 2 2 1
2 2 1
x x
x x
+ = −
 + = − +
⇔
3
3 1
x
x
=
 = −
 ⇔
3
1
3
x
x
=
 − =

f) (x + 2)2 – x + 4 = 0 ⇔ x2 + 4x + 4 – x + 4 = 0 ⇔ x2 + 3x + 8 = 0 
 ⇔ (x + 3
2
)2 + 23
4
 = 0 (vô lí) ⇔phương trình vô nghiệm. 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 22 
g) (x2 – 2)2 + 4(x – 1)2 – 4(x2 -2)(x - 1) = 0 ⇔ (x2 – 2 – 2x + 2)2 = 0 
 ⇔ x2(x – 2)2 = 0⇔ 
0
2 0
x
x
=
 − =
 ⇔ 0
2
x
x
=
 =
Bài 14 
a) Cho x – y = 7. Tính giá trị biểu thức A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy 
 B = x3 – 3xy(x – y) – y3 – x2 + 2xy – y2 
b) Cho x + 2y = 5. Tính giá trị biểu thức sau: C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y 
Bài giải 
a) A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy = x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy 
 = (x – y)2 + 2(x – y). (1) 
Thay x – y =7 vào (1) ta được A = 72 + 2.7 = 63 
 B = x3 – 3xy(x – y) – y3 – x2 + 2xy – y2 = (x – y)3 – (x – y)2 (2) 
Thay x – y = 7 vào (2) ta được B = 73 – 72 = 294 
b) C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y = (x + 2y)2 – 2(x + 2y) (3) 
Thay x + 2y = 5 vào (3) ta được C = 52 – 2.5 = 15 
Bài 15. Chứng minh đẳng thức: 
c) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2 d) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 
e) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) f) (a – b)3 = a3 – b3 -3ab(a – b) 
g) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 
h) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 
Bài giải 
c) (a + b)2 – 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab 
 = a2 + b2 
d) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + b2 + 2ab – a2 – b2 + 2ab 
 = 4ab 
e) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 = a3 + b3 + (3a2b + 3ab2) 
 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 
f) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 23 
 = a3 – b3 – (3a2b – 3ab2) 
 = a3 – b3 – 3ab(a - b) 
g) (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 
 = (a2c2 + b2d2 + 2abcd) + (a2d2 + b2c2 – 2abcd) 
 = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 
h) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 
= (a2 + b2 + 2ab) + (b2 + c2 + 2bc) + (a2 + c2 + 2ac) 
= (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) x2 -2x + 1 b) x2 + x + 1 c) 4x2 + 4x -5 
d) (x – 3)(x + 5) + 4 e) x2 – 4x + y2 – 8y + 6 
Bài giải 
a) x2 -2x + 1 = (x – 1)2 ≥ 0 
Vậy GTNN của biểu thức bằng 0 khi x = 1 
b) x2 + x + 1 = (x + 1
2
)2 + 3
4
≥ 3
4
Vậy GTNN của biểu thức bằng 3
4
 khi x = 1
2
− 
c) 4x2 + 4x -5 = (2x – 1)2 – 6 ≥ - 6 
Vậy GTNN của biểu thức bằng – 6 khi x = 1
2
d) (x – 3)(x + 5) + 4 = x2 + 2x – 15 + 4 = (x + 1)2 – 12 ≥ - 12 
Vậy GTNN của biểu thức bằng – 12 khi x = - 1 
e) x2 – 4x + y2 –