Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8

ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết
A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x yx y
y x x y
Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b)
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1 xxxxxx
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F
sao cho AE = CF
a) Chứng minh EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng
minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
HD CHẤM
Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ)
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ)
b) (0,75đ) Xét 2A 1 0 x 7 x 5 75 x 4
B 2 x 3 2 x 3
(0,25đ)
Với x Z thì A  B khi 7
2 3 x Z 7  ( 2x – 3) (0,25đ)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi
3 3
x y
y 1 x 1
 =
4 4
3 3
x x y y
(y 1)(x 1)
= 4 4
2 2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
 ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
= 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y x y (x y)
xy(x y y x y yx xy y x x 1)
(0,25đ)
= 2 2
2 2 2 2
x y (x y 1)
xy x y xy(x y) x y xy 2
(0,25đ)
= 2 2
2 2 2
x y (x x y y)
xy x y (x y) 2
=  
2 2
x y x(x 1) y(y 1)
xy(x y 3)
(0,25đ)
=  
2 2
x y x( y) y( x)
xy(x y 3)
= 
2 2
x y ( 2xy)
xy(x y 3)
(0,25đ)
=
2 2
2(x y)
x y 3
 Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
 (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ)
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)
* x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)
 x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
b) (1,75đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2008 2007 2006 2005 2004 2003
 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
2003
2009
2004
2009
2005
2009
2006
2009
2007
2009
2008
2009 xxxxxx x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0
2008 2007 2006 2005 2004 2003
(0,25đ)
 0)
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
)(2009( x (0,5đ) Vì 1 1
2008 2005
 ; 1 1
2007 2004
 ; 1 1
2006 2003
Do đó : 0
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ)
Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D
Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) 
1 2
ˆ ˆE F 
Mà
1 2 1
ˆ ˆ ˆE E F = 900 2 2 1ˆ ˆ ˆF E F = 900
 EDF= 900. Vậy EDF vuông cân
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD
Mà EDF vuông cân DI = 1
2
EF
Tương tự BI = 1
2
EF DI = BI
 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm)
a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
A
B
E I
D
C
O
F
2
1
1
2
A
D
B
C
E
= 2(x –
2a
4
)2 +
2a
2
2a
2
(0,25đ)
Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = a
2
(0,25đ)
 BD = AE = a
2
 D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =
1
2
AD.AE = 1
2
AD.BD = 1
2
AD(AB – AD)= 1
2
(AD2 – AB.AD) (0,25đ)
= – 1
2
(AD2 – 2 AB
2
.AD +
2AB
4
) +
2AB
8
= – 1
2
(AD – AB
4
)2 +
2AB
2
2AB
8
(0,25đ)
Vậy SBDEC = SABC – SADE 
2AB
2
–
2AB
8
= 3
8
AB2 không đổi (0,25đ)
Do đó min SBDEC =
3
8
AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 – 5x – 7
Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng:
Bài 3: Cho phân thức:
xx
x
22
55
2 
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.
Bài 4: a) Giải phơng trình :
)2(
21
2
2
xxxx
x
b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3
Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:
Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản
phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn
thành trớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ
phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và
trung tuyến AM.
a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA
b) Tính : BC; AH; BH; CH ?
c) Tính diện tích ∆ AHM ?
BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN
Đáp án Biểu
điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 điểm)
b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x
+1) – 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7). (1 điểm)
Bài 2: Tìm A (1 điểm)
A =
84)2(4
)2(
)2(2).2(2.
)2(
)42)(42(
2
4)2[(
2
164(
2
22
2
2
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
Bài 3: (2 điểm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0
 2x 0 và x + 1 0
 x 0 và x -1 (1 điểm)
b) Rút gọn:
xxx
x
xx
x
2
5
)1(2
)1(5
22
55
2
 (0,5 điểm)
2
5
251
2
5 xx
x
(0,25 điểm)
Vì
2
5 thoả mãn điều kiện của hai tam giác nên
2
5 x (0,25 điểm)
Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x 2
- Giải:
)2(
2
)2(
 2) -(x -2)x(x
xxxx
 x2 + 2x – x +2 = 2;
 x= 0 (loại) hoặc x = - 1. Vậy S = 1 
b) x2 – 9 < x2 + 4x + 7
 x2 – x2 – 4x - 4
Vậy nghiệm của phơng trình là x > - 4
1 đ
1đ
Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày
Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1
Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)
- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm)
- Số sản phẩm thực hiện là: 57 (x-1) (sản phẩm)
Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13
 57x – 57 – 50x = 13
 7x = 70
 x = 10 (thoả mãn điều kiện)
Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày.
Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 . 10 = 500 (sản phẩm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
Bài 6: a) Xét ∆ ABC và ∆ HBA, có:
Góc A = góc H = 900; có góc B chung
 ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc. góc)
b) áp dụng pitago trong ∆ vuông ABC
ta có : BC = 22 ACAB = 22 2015 = 625 = 25 (cm)
vì ∆ ABC ~ ∆ HBA nên
15
252015 
HAHB
hay
BA
BC
HA
AC
HB
AB
 AH = 12
25
05.20 (cm)
BH = 9
25
15.15 (cm)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
c) HM = BM – BH = )(5,39
2
25
2
cmBH
BC 
SAHM =
2
1 AH . HM =
2
1 . 12. 3,5 = 21 (cm2)
- Vẽ đúng hình: A
1 đ
1 đ
1 đ
1 đ
1đ
B H M C
1 đ
ĐỀ 3
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
b) 4
1004
1x
1986
21x
1990
17x 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0
z
1
y
1
x
1 .
Tính giá trị của biểu thức:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1
đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào
chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính
phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: 4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2
.
ĐÁP ÁN
 Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
 Bài 2(1,5 điểm):
0
z
1
y
1
x
1 0xzyzxy0
xyz
xzyzxy yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó:
)yz)(xz(
xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A ( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
 Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 090 a,d,c,b,a (0,25điểm)
Ta có: 2kabcd 
2m)3d)(5c)(3b)(1a( 
2kabcd 
2m1353abcd (0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 k = 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)
với k, m N, 100mk31 
(0,25điểm)
hoặc
hoặc
 Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng (0,25điểm)
a) 'AA
'HA
BC'.AA.
2
1
BC'.HA.
2
1
S
S
ABC
HBC ; (0,25điểm)
Tương tự: 'CC
'HC
S
S
ABC
HAB ;
'BB
'HB
S
S
ABC
HAC (0,25điểm)
1
S
S
S
S
S
S
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC (0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN
;
AC
AB
IC
BI (0,5điểm )
AM.IC.BNCM.AN.BI
1
BI
IC
.
AC
AB
AI
IC
.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
- BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2
(0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
(0,5điểm )
(0,5điểm )
ĐỀ 4
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho 1x y z
a b c
 và 0a b c
x y z
 . Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
 .
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1
a 2,0
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1). 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1). 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
2
2
2 3
2 0
4 0 0
2 0 2
33 0
2 0
x
x x
x x
xx x
x x
1,0
2 2 2 2 2 2
2 2 3
2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )
( ) : ( ) .
2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
 1,0
24 8 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
 0,5
24 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3
x x x x x
x x x x
 0,25
Vậy với 0, 2, 3x x x thì
24x
3
A
x
 . 0,25
b 1,0
Với
24
0, 3, 2 : 0 0
3
x
x x x A
x
 0,25
3 0x 0,25
3( )x TMDKXD 0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
c 1,0
7 4
7 4
7 4
x
x
x
 0,5
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD
 0,25
Với x = 11 thì A = 121
2
0,25
Bài 3 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : 2 2 2( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z 0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
Từ : ayz+bxz+cxy0 0a b c
x y z xyz
 0,5
 ayz + bxz + cxy = 0 0,25
Ta có : 21 ( ) 1x y z x y z
a b c a b c
 0,5
2 2 2
2 2 2
2( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
 0,5
2 2 2
2 2 2
2 1
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
 0,5
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
dfcm
a b c
 0,25
Bài 4 6,0

O
F
E
K
H
C
A
D
B 0,25
a 2,0
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : ( )BEO DFO g c g 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có: ABC ADC HBC KDC 0,5
Chứng minh : ( )CBH CDK g g  1,0
. .
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
 0,5
b, 1,75
Chứng minh : AF ( )D AKC g g  0,25
AF
. A .
AK
AD AK F AC
AD AC
 0,25
Chứng minh : ( )CFD AHC g g  0,25
CF AH
CD AC
 0,25
Mà : CD = AB . .CF AH AB AH CF AC
AB AC
 0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(đfcm).
0,25
ĐỀ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
 .
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
492009 x 2009 x x 2010 x 2010
 .
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2010x 2680
A
x 1
 .
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB
sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF .
a) Chứng minh rằng: BDF BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
ĐỀ 7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
1
2
x 
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a) 2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x 
c) 2 3 5x 
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc
thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi
của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng
của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và
ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị
trí của điểm P.
d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, 9
16
PD
PB
 . Tính các cạnh của hình chữ nhật
ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
2 2
1 1 2
1 1 1x y x y
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích:
4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
 0,5đ
a) Rút gọn P =
2 3
2 5
x
x
 2đ
b)
1
2
x 1
2
x hoặc 1
2
x
+)
1
2
x  P = 1
2
+)
1
2
x
 P = 2
3
1đ
c) P =
2 3
2 5
x
x
 =
2
1
5x
Ta có: 1 Z 
Vậy P Z khi 2
5
Z
x
 x – 5 Ư(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2 x = 3 (TMĐK)
x – 5 = -1 x = 4 (KTMĐK)
x – 5 = 1 x = 6 (TMĐK)
x – 5 = 2 x = 7 (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
d) P =
2 3
2 5
x
x
 =
2
1
5x
 0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì
2
5x > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a) 2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
 ĐK: 4; 1x x 
 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
 3x.(x + 4) = 0
 3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x 
 148 169 186 1991 2 3 4 025 23 21 19
x x x x 
 (123 – x) 1 1 1 1
25 23 21 19
 = 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19
 > 0
Nên 123 – x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c) 2 3 5x 
Ta có: 2 0x x  => 2 3x > 0
nên 2 3 2 3x x 
PT được viết dưới dạng:
2 3 5x 
 2x = 5 – 3
 2x = 2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:
3
( / )
1 103
3
x x
km h 
(3h20’ = 13 3 h ) 0,25đ
Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:
 3 5 /
10
x
km h 0,25đ
Theo đề bài ta có phơng trình:
3
5 .3
10
x
x
 0,5đ
 x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự định là: 3.150 45 /
10
km h 
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
 PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO
 tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
A B
CD
O
M
P
I
E
F
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I
nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
c) MAF DBA g g  nên MF AD
FA AB
 không đổi. (1đ)
d) Nếu 9
16
PD
PB
 thì 9 , 16
9 16
PD PB
k PD k PB k 
Nếu CP BD thì CP PBCBD DCP g g
PD CP
  1đ
do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - )
= 2010.() chia hết cho 2010 (1)
20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b) 2 2
1 1 2
1 1 1x y x y
 (1)
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
Vì 1; 1x y => 1xy => 1 0xy 
=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ
ĐỀ 8
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1:
Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
 ; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trình:
a, 1
a b x =
1
a
+ 1
b
+ 1
x
(x là ẩn số)
b,
2
2
( )(1 )b c a
x a
 +
2
2
( )(1 )c a b
x b
 +
2
2
( )(1 )a b c
x c
 = 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 3:
Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
 = 3( 1)
a
x + 2( 1)
b
x 
Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Bài 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức: 3 2 2 3
2 1 1 1 x 1
A 1 1 :
x x 2x 1 x xx 1
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D
với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia
CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H
cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3,
thì k chia hết cho 6.
ĐỀ 10
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức
2
2 2
1 3 x 1
A :
3 x 3x 27 3x x 3
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
a)
yy
y
yy 31
2
19
6
3103
1
22 
b)
6 x 1x 3 x 1 .
3 22 4x 3
2 2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5
giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật
AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
ĐỀ 11
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả mãn:
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
 =
2
2
x
a
+
2
2
y
b
+
2
2
z
c
Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR: 1
a
+ 1
b
 4
a b 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: a d
d b
 +
d b
b c
 +
b c
c a
 +
c a
a d
 0
Bài 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
 với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
2( 1995)
x
x với x > 0
Bài 5:
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6:
Cho ABC M là một điểm miền trong của ABC . D, E, F là trung điểm AB, AC,
BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ 12
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Câu 1 : ( 2Đ ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( 4Đ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của
một đa thức khác .
Câu 3 : ( 4Đ) Cho biểu thức :
P = 
 2
10
2:
2
1
36
6
4
2
3
2
x
x
x
xxxx
x
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =
4
3
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên .
Câu 4 : ( 3 Đ ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 5 : ( 3Đ)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần
lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng
75 (cm)
Câu 6 : ( 4Đ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai
cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN
nhỏ nhất .
ĐỀ 13
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x x - 3x + 4 x -2 với x 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
22
2
12 cac
c
bbc
b
aab
a
A
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0
Tính:
224 ba
ab
P 
Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trờn BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ
đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là
điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC
để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
ĐỀ 14
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: 3333)( cbacba 
b) Rút gọn:
933193
451272
23
23
xxx
xxx
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: nnnA 36)7( 223 chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mảnh máy bơm A
hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết
nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng
đến máy bơm B.
Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước.
b) Giải phương trình: aaxax 322 (a là hằng số).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa
mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường
thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giỏc ABC và INC.
c) Chứng minh: gúc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng số:

0sèn
09.............0019..........99224
9 sè 2-n
là số chính phương. ( 2 n ).
ĐỀ 15
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a. 3 2A n n n 1 là một số nguyên tố.
b.
4
4 3 2
n 16
C
n 4n 8n 16
 có giá trị là một số nguyên.
c. D = n4 + 4n là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc 0.
a. Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
b. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
Bài 3:
a. Giải phương trình:
x a x c x b x c
1
b a b c a b a c
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ
đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh : AOD BOCS S 
b. Chứng minh: OE = OF.
c. Chứng minh:
1 1 2
AB CD EF
d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia
đôi diện tích tam giác DEF.
ĐỀ 16
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 2
a b a b
P
abab b ab a
a. Rút gọn P.
b. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a. (n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực
tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là
trung điểm đoạn thẳng AH.
a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để
OPQR là hình thoi?
b. Chứng minh AQ = OM.
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của
EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào?