Bộ 50 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9

Tailieumontoan.com 
 
 Sưu tầm và tổng hợp 
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 
Thanh Hóa, ngày 8 tháng 3 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
1 
50 ĐỀ HỌC SINH GIỎI 
 MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP TỈNH 
LỜI NÓI ĐẦU 
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi học sinh giỏi 
môn toán lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi 
toán lớp 9 của các tỉnh trên cả nước có hướng dẫn giải cụ thể. Đây là bộ đề thi mang tính chất thực 
tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 9 có một tài liệu bám sát đề 
thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm 
nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các 
em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để 
có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ 
nhàng và hiệu quả hơn. 
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để 
giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh này sẽ có thể 
giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. 
Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay 
dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi 
toán lớp 9 ở các tỉnh trên cả nước. 
 Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, 
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! 
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này! 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
2 
MỤC LỤC 
Phần 1. Đề thi 
Phần 2. Đáp án 
• Đề 1:______________________________________________________Trang .58 
• Đề 2:______________________________________________________Trang .62 
• Đề 3:______________________________________________________Trang .65 
• Đề 4:______________________________________________________Trang .69 
• Đề 5:______________________________________________________Trang .73 
• Đề 6:______________________________________________________Trang .77 
• Đề 7:______________________________________________________Trang .84 
• Đề 8:______________________________________________________Trang .89 
• Đề 9:______________________________________________________Trang .93 
• Đề 10:_____________________________________________________Trang .99 
• Đề 11:_____________________________________________________Trang .104 
• Đề 12:_____________________________________________________Trang .110 
• Đề 13:_____________________________________________________Trang .113 
• Đề 14:_____________________________________________________Trang .116 
• Đề 15:_____________________________________________________Trang .121 
• Đề 16:_____________________________________________________Trang .127 
• Đề 17:_____________________________________________________Trang .131 
• Đề 18:_____________________________________________________Trang .134 
• Đề 19:_____________________________________________________Trang .141 
• Đề 20:_____________________________________________________Trang .144 
• Đề 21:_____________________________________________________Trang .152 
• Đề 22:_____________________________________________________Trang .156 
• Đề 23:_____________________________________________________Trang .160 
• Đề 24:_____________________________________________________Trang .163 
• Đề 25:_____________________________________________________Trang .168 
• Đề 26:_____________________________________________________Trang .173 
• Đề 27:_____________________________________________________Trang .176 
• Đề 28:_____________________________________________________Trang .180 
• Đề 29:_____________________________________________________Trang .183 
• Đề 30:_____________________________________________________Trang .187 
• Đề 31:_____________________________________________________Trang .190 
• Đề 32:_____________________________________________________Trang .195 
• Đề 33:_____________________________________________________Trang .199 
• Đề 34:_____________________________________________________Trang .202 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
3 
• Đề 35:_____________________________________________________Trang .207 
• Đề 36:_____________________________________________________Trang .211 
• Đề 37:_____________________________________________________Trang .213 
• Đề 38:_____________________________________________________Trang .216 
• Đề 39:_____________________________________________________Trang .219 
• Đề 40:_____________________________________________________Trang .223 
• Đề 41:_____________________________________________________Trang .226 
• Đề 42:_____________________________________________________Trang .229 
• Đề 43:_____________________________________________________Trang .234 
• Đề 44:_____________________________________________________Trang .237 
• Đề 45:_____________________________________________________Trang .241 
• Đề 46:_____________________________________________________Trang .243 
• Đề 47:_____________________________________________________Trang .246 
• Đề 48:_____________________________________________________Trang .250 
• Đề 49:_____________________________________________________Trang .254 
• Đề 50:_____________________________________________________Trang .258 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
4 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐIỆN BIÊN 
Đề số 1 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 09/4/2019 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (5,0 điểm) 
1. Cho biểu thức x 1 2P = 1 : 1.
x 1 x 1 x x x x 1
+ − − + − + − − 
a) Rút gọn biểu thức .P 
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức Q x P= − nhận giá trị nguyên. 
2. Cho ( )( )2 2x x 1 2y 4y 1 1+ + + + = . Tính giá trị biểu thức 3 3x 8y 2019.+ + 
Câu 2. (4,0 điểm) 
1. Giải phương trình: 22x x 3 3x x 3.+ + = + 
2. Giải hệ phương trình: 
3
3
6
x 2
y
8
3x 2.
y
− = 
 − = −
Câu 3. (3,0 điểm) 
1. Chứng minh: 
( )
1 1 1 1
... 1
2 2 1 1 3 3 2 2 n 1 n 1 n n n 1
+ + + −
+ + + + + +
 ( *n ) 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2A 5x 9y 12xy 24x 48y 82= + − + − + . 
Câu 4. (6,0 điểm) 
1. Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao BE, CF
 của ABC ( ; ).E AC F AB Các đường cao BE, CF cắt ( )O lần lượt tại M và N . 
a) Chứng minh rằng MN song song với EF; OA vuông góc với EF . 
b) Gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh rằng: 2CH.CF BH.BE BC+ = . 
2. Cho điểm O thuộc miền trong của ABC . Các tia , ,AO BO CO cắt các cạnh của ,BC 
AC, AB lần lượt tại G, E,F . Chứng minh tổng 
OA OB OC
AG BE CF
+ + không phụ thuộc vào 
vị trí điểm O. 
Câu 5. (2,0 điểm) 
1. Chứng minh rằng 3 2P x 3x 3x 3= − − + là một số chính phương khi 3 3x 1 2 4= + + . 
2. Tìm x,y thỏa mãn: 2 2x 2y 5− = . 
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
5 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH LẠNG SƠN 
Đề số 2 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 23/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4 điểm) 
 Cho biểu thức 
( )2 x 3x x 3 x 3
A
x 2 x 3 x 1 3 x
−− +
= − +
− − + −
 với 0; 9.x x 
a) Rút gọn biểu thức A . 
b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . 
Câu 2. (4 điểm) 
Cho phương trình ( )2 2x – 2 m 4 x m 8m – 9 0+ + + = . 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 
b) Tìm m nguyên dương để phương trình đã cho có hai nghiệm 
1 2
x , x sao cho 
2 2
1 2
1 2
x x 60
P
x x
+ −
=
+
 đạt giá trị nguyên. 
Câu 3. (4 điểm) 
a) Giải phương trình 
1 4
x 4 x 5 0
x x
− + − + = . 
b) Tìm tất cả các cặp ( )x; y nguyên thỏa mãn ( ) ( ) ( )
2 22 2x y x 2 2y 2 2xy x 2y 4 5+ − + − − + − = . 
Câu 4. (6 điểm) 
Cho tam giác nhọn ( )ABC AB AC nội tiếp trong đường tròn ( )O , các đường cao 
BE,CF cắt nhau tại H ( E AC,F AB ). 
a) Gọi K EF BC=  , ( )L AK O=  với L A . Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và 
HL AK⊥ . 
b) Chứng minh rằng đường thẳng HL đi qua trung điểm của BC . 
c) Gọi T là điểm trên đoạn thẳng FC sao cho 0ATB 90= . Chứng minh rằng các 
đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT và CET tiếp xúc với nhau. 
Câu 5. (2 điểm) 
Cho đa giác đều 30 đỉnh. Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kì một bộ gồm có 
9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân. 
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
6 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH NGHỆ AN 
Đề số 3 
(Đề thi có một trang) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
Môn thi: TOÁN - BẢNG A 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. (3,0 điểm) 
 a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 22y xy x 2y 5 0− + − + = . 
 b. Chứng minh rằng 
n2 nA 2 4 16= + + chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n. 
Câu 2. (6,5 điểm) 
 a. Giải phương trình: 
38x 4x
2x 3
2x 5
+
+ = 
+
 b. Giải hệ phương trình: 
( ) ( )
( )( )
2 2
x 1 y 3 1
x 1 y 3 x y 3.
 − + − = 
− − − − = − 
Câu 3. (2,5 điểm) 
 Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
4 4 4
a b c
P .
a b b c c a
= + + 
+ + + 
Câu 4. (6,0 điểm) 
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân các 
đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) 
tại điểm thứ nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM 
cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh rằng: 
 a. EF ⊥ OA. 
 b. AM = AN. 
 2. Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trong tam giác đó sao cho 0ADB = ACB 90+ 
và AC.BD = AD.BC. Chứng minh 
AB.CD
2
AC.BD
= . 
Câu 5. (2,0 điểm) 
Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại 
một hình tròn bán kính bằng 
1
91
 nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm 
nào trong 2019 điểm đã cho. 
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
7 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH QUẢNG BÌNH 
Đề số 4 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 14/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (2.5 điểm) 
a. Cho biểu thức 
1 3 2
A
x 1 x x 1 x x 1
= - + 
 + + - + 
với x 0. Rút gọn và tìm giá 
trị lớn nhất của A. 
b. Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức 
B 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + − + . 
Câu 2. (2.0 điểm) 
a. Xác định các hệ số a và b để đa thức ( ) 4 3 2P x x 2x 3x ax b= − + + + là bình phương 
của một đa thức. 
b. Giải phương trình:
23 4x 4x 1 16x 8x 1− + + = − − + (1). 
Câu 3. (2,5 điểm) 
Cho đường tròn ( )O và dây cung BC a= không đổi (O BCÏ ). A là một điểm di 
động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, 
CK cắt nhau tại H ( D BC,E AC,K AB ). 
a. Trong trường hợp BHC BOC= , tính AH theo a. 
b. Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất. 
Câu 4. (1.0 điểm) 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho nC 2019 2020= + là số chính phương. 
Câu 5. (1.0 điểm). 
 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 2 xyz+ + + = . Chứng minh rằng: 
( )x y z 6 2 yz zx xy+ + + + + . 
Câu 6. (1.0 điểm) 
Cho tam giác vuông ABC có AB 3,AC 4,BC 5= = = . Xét các hình chữ nhật MNPQ 
sao cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. Hãy xác định các 
kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất. 
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
8 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐỒNG NAI 
Đề số 5 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 29/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4,5 điểm) 
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 
x y m 1
2x 3y m 3
 − = +
− = + 
 (với m là tham số thực). 
Tìm m để biểu thức 2P x 8y= + đạt giá trị nhỏ nhất. 
2) Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
x y 1
x y 1
 + = 
− = − 
 (với x, y thuộc R). 
Câu 2. (4,5 điểm) 
1) Giải phương trình 4 3 2x 9x 24x 27x 9 0 (x R)− + − + = 
2) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: 
a b c a b c
3 4
b c a a b b c c a
+ + + + + 
+ + + 
Câu 3. (4,5 điểm) 
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa 
1 1 1
a b c
= + . Chứng minh rằng: abc chia hết 
cho 4. 
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999. 
Câu 4. (2 điểm) 
Cho 
1 2 3 99
A ....
1 2 2 3 3 4 99 100
= + + + +
+ + + +
 là tổng của 99 số hạng và 
B 2 3 4 ... 100= + + + + là tổng của 99 số hạng. 
Tính A + B 
Câu 5. (4,5 điểm) 
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, 
AC với đường tròn (I). Biết ba góc BAC, ABC, BCA , đều là góc nhọn. Gọi M và N lần 
lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC. 
1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC 
2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy. 
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
9 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH THANH HÓA 
Đề số 6 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 22/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4,0 điểm) 
1. Rút gọn biểu thức 
x x x 1 x 2 x 5
P :
x 2 x 2 x x 1 x x 2
 − − + −
= − − 
 − − + − − 
, với x 0,x 4. 
2. Cho 3 3a 7 50 , b 7 50 .= + = − Không dùng máy tính, hãy chứng minh các biểu 
thức M a b= + và 7 7N a b= + có giá trị đều là số chẵn. 
Câu 2. (4,0 điểm) 
1. Giả sử 1 2x ,x là hai nghiệm của phương trình 
2x 2kx 4 0+ + = ( k là tham số ). Tìm 
tất cả các giá trị của k sao cho : 
2 2
1 2
2 1
x x
3
x x
+ 
2. Giải hệ phương trình 
2
2
x x 1 2y 1
y y 1 2x 1
 + + = + 
+ + = + 
 . 
Câu 3. (4,0 điểm) 
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ( ) ( )2 2x y x y x 2 y x 1+ + = + − 
2. Cho *n . Chứng minh rằng nếu 2n 1+ và 3n 1+ là các số chính phương thì n 
chia hết cho 40 . 
Câu 4. (6,0 điểm) 
Cho đường tròn ( )O,R và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn, OA 2R= . 
Từ A kẻ các tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn ( )O ( B,C là các tiếp điểm). Đường thẳng 
OA cắt dây BC tại I . Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC . Tiếp tuyến tại M của 
đường tròn ( )O cắt AB,AC lần lượt ở E,F . Dây BC cắt OE,OF lần lượt tại các điểm ,P Q 
1. Chứng minh 0ABI 60= và tứ giác OBEQ nội tiếp. 
2. Chứng minh EF 2PQ= . 
3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam giác OPQ có diện tích 
nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R . 
Câu 5. (2,0 điểm) 
Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1 0.+ − + = Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức: 
( )( )( )
3 3
2
x y
P
x yz y xz z xy
=
+ + +
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
10 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH BÌNH PHƯỚC 
Đề số 7 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 06/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. ( 5.0 điểm ) 
1. Cho biểu thức 
( )( )
x 1 x 8 3 x 1 1 1
P :
3 x 1 x 1 3 x 1 x 13 x 1 3 x 1
 − + − + = + − 
 + − − − − −− − + − 
. 
a) Rút gọn P . 
b) Tính giá trị của biểu thức P khi ( )x 3 2 2 5 1 3 2 2 5 1 2= + − + − + − . 
2. Cho x,y là các số thực thỏa mãn: x y 1+ = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( )4 3 3 4P 2x x 2y 1 y 2x 1 2y= + − + − + . 
Câu 2. ( 5.0 điểm ) 
1. Giải phương trình: 3x 5 x 2 4x 2x 3+ − + = − − . 
2. Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
xy 2x y 6
x 1 y 2 8
 − + = 
+ + − = 
3. Cho hàm số ( ) 2P : y x= . Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( )d : y 2x m 1= + − 
cắt đồ thị hàm số ( )P tại hai điểm phân biệt ( ) ( )1 1 2 2A x ; y ,B x ; y thỏa mãn 
1 2 1 2
y .y x .x 12− = . 
Câu 3. ( 5.0 điểm ) 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , D là một điểm trên cạnh AB , ( ),D A B . 
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của ,CB CA . Đường thẳng MN cắt ( )O tại hai điểm 
,P Q ( ,P Q lần lượt thuộc cung CB và CA ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt BC 
tại I ( )I B . Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K . 
a) Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp. 
b) Chứng minh . .PK QC QB PD= . 
c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( )G P . Đường thẳng 
IG cắt BA tại E . Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BA thì 
AD
AE
 không đổi. 
Câu 4. ( 2.0 điểm ) 
Cho hình chữ nhật ABCD với ,AB a AD b= = . Trên các cạnh , , ,AD AB BC CD lần lượt 
lấy các điểm , , ,E F G H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH . Gọi c là chu vi của tứ giác 
EFGH . Chứng minh 2 2c 2 a b + . 
Câu 5. ( 3.0 điểm ) 
1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 4 24y 6y 1 x+ − = . 
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n chẵn thì: 3n 20n 96+ + chia hết cho 48 . 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
11 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH SƠN LA 
Đề số 8 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 18/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (3,0 điểm) 
Cho biểu thức: 
3
6x 4 3x
A
3x 2 3x 43 3x 8
+
= −
+ +−
 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
Câu 2. (4,0 điểm) 
Cho phương trình ( )2x 2 m 1 x 3m 3 0− − + − = (1) 
a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn biểu 
thức 2 2
1 2 1 2
M x x 5x x= + + đạt giá trị nhỏ nhất. 
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. 
Câu 3. (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 2 2
2x 13x
6
2x 5x 3 2x x 3
+ =
− + + +
b) Giải hệ phương trình: 
3 2
2 2
x 2xy 12y 0
8y x 12
 + + = 
+ = 
Câu 4. (6,0 điểm) 
 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ 
đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). 
Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của 
BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt 
MN tại K. 
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. 
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. 
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng 
MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. 
Câu 5. (2,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD và 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: mỗi đường thẳng 
đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỷ số diện tích là 
1
.
2
 Chứng minh rằng: trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng qui. 
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
12 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH NINH BÌNH 
Đề số 9 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 13/3/2019 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4,0 điểm) 
1. Gọi 1 2 3x ,x ,x là 3 nghiệm của phương trình 
3 2x 5x 5x 1 0− + − = . Tính giá trị biểu 
thức 
2 2 2
1 2 3
1 1 1
S
x x x
= + + . 
2. Rút gọn biểu thức 
x 3 x 3 x x 2 9 x
A 1 :
x 9 x 2 3 x x x 6
 − − − −
= − + − 
 − − + + − 
 với x 0 , x 4 
 , x 9 . 
Câu 2. (4,0 điểm) 
1. Giải hệ phương trình 
2
23
(y 2x)(1 y x) 2x x
x(y 1) x y 2
 − − − = − 
− + − = 
. 
2. Giải phương trình 2x x 24 2x 2x 3 6 12 x+ + − + = − . 
Câu 3. (4,0 điểm) 
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 2x y x 5y 22x 121 0− + − − = . 
2. Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 2019+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2 2 2
1 3 3 3
P
4xy 4yz 4zxx y z
= + + +
+ +
. 
Câu 4. (6,0 điểm) 
1. Qua điểm M nằm trong tam giác ABC kẻ DK//AB , EF//AC , PQ//BC ( E,P AB 
; K,F BC ; D,Q CA ). Biết diện tích các tam giác MPE, MQD, MKF lần lượt là 2 2 2x , y ,z 
với x, y,z là các số thực dương. Tính diện tích tam giác ABC theo x, y,z . 
2. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm bất kỳ trên 
dây BC (M khác B, M khác C). Vẽ đường tròn tâm D đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, vẽ 
đường tròn tâm E đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai 
đường tròn (D) và (E) . 
a) Chứng minh rằng tứ giác ABNC là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng minh điểm N 
thuộc đường tròn (O) và ba điểm A, M, N thẳng hàng. 
b) Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng DE luôn nằm trên một đường 
thẳng cố định khi điểm M di động trên dây BC. 
Câu 5. (2,0 điểm) 
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố ( )p;q;r sao cho pqr p q r 160= + + + . 
2. Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 210. Chứng minh rằng trong 8 
đoạn thẳng đó luôn tìm được 3 đoạn thẳng để ghép thành một tam giác. 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
13 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH NAM ĐỊNH 
Đề số 10 
(Đề thi có 2 trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (3,0 điểm) 
1. Rút gọn biểu thức 
4 1 9 4 2
P .
2 7 2 10 7 89 28 10
− +
= −
+ − − −
2. Xét ba số thực dương , ,x y z thoả mãn 
2
2
xz z z 1
y yz z 1
+
+ =
+ +
. Chứng minh rằng 
1 1 1
1
xy x yz 1 yz y 1 zx z 1
+ + =
+ + + + + +
. 
Câu 2. (5,0 điểm) 
1. Giải phương trình ( )3 2 2 44 5x x 2x x 2 x 4 .
15
+ + = + + 
2. Giải hệ phương trình 
( ) ( )
2
2
x y 1 2 x y 1
4
.xy x y
4x 5y x y 1 6 x 13
 − − + −
 − = − 
+ 
+ + + − + = 
Câu 3. (3,0 điểm) 
1. Cho các đa thức ( )P x và ( )Q x thoả mãn ( ) ( ) ( )( )
1
P x Q x Q 1 x x
2
= + −  . Biết 
rằng các hệ số của ( )P x là các số nguyên không âm và ( )P 0 0= . Tính ( ) ( )( )P 3P 3 P 2− . 
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( )x; y thỏa mãn phương trình 
( )( ) ( ) ( )( )2x y 1 x 1 y 6xy y 2 x y 2 x 1 y 1− − + − + + − − = + + . 
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( );O R , vẽ đường tròn ( )'; 'O R 
( )'R R tiếp xúc với cạnh AD tại H , tiếp xúc với cạnh BC tại G và tiếp xúc trong với 
đường tròn ( )O tại M (điểm M thuộc cung CD không chứa điểm A ). Vẽ đường thẳng 't t 
là tiếp tuyến chung tại M của hai đường tròn ( )O và ( )'O (tia Mt nằm trên nửa mặt phẳng 
bờ là đường thẳng MA chứa điểm D ). 
1. Chứng minh DHM DMt AMH= + và ,MH MG lần lượt là tia phân giác của các góc 
AMD và góc BMC . 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
14 
2. Đường thẳng MH cắt đường tròn ( )O tại E ( E khác M ). Hai đường thẳng HG và 
CE cắt nhau tại .I Chứng minh EHI EIM.= 
3. Chứng minh đường thẳng HG đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD . 
Câu 5. (2,0 điểm) 
1. Cho ba số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
.
6c c a 3b c a a b 3c a b b c 3a b a b c
+ + + + 
+ + + + + + + + + 
 2. Cho một đa giác có 10 đỉnh như hình vẽ ở bên (bốn 
đỉnh: A, B, C, D hoặc B, C, D, E hoặc C, D, E, F hoặc  
hoặc J, A, B, C được gọi là bốn đỉnh liên tiếp của đa giác). 
Các đỉnh của đa giác được đánh số một cách tuỳ ý bởi các số 
nguyên thuộc tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 (biết mỗi 
đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được đánh ở các đỉnh 
là khác nhau). Chứng minh rằng ta luôn tìm được 4 đỉnh liên 
tiếp của đa giác được đánh số mà tổng các số đó lớn hơn 21. 
___________________Hết_________________ 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
15 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH BẮC NINH 
Đề số 11 
(Đề thi có 1 trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4,0 điểm) 
 1) Rút gọn biểu thức: 
3 3
3 3
2(a b) a a 2 2b
P . a
a 2ab 2b 2b 2aba 2 2b
 + +
 = − − 
 + + +− 
 với a 0,b 0,a 2b. 
 2) Cho hàm số ( )2y m 4m 4 x 3m 2= − − + − có đồ thị là d . Tìm tất cả các giá trị của 
m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A , B sao cho tam 
giác OAB có diện tích là 1 2cm (O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là cm ). 
Câu 2. (4,0 điểm) 
1) Cho phương trình ( )2 2x 3m 2 x 2m 5m 3 0− − + − − = , x là ẩn, m là tham số. Tìm 
tất cả giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. 
2) Giải hệ phương trình 
3 3 2
2x y 1 3y 1 x x 2y
x 3x 2 2y y
 − − + + = + + 
− + = − 
Câu 3. (4,0 điểm) 
1) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn các điều kiện 2(a c)(b c) 4c+ + = . Tìm giá 
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a b ab
P
b 3c a 3c bc ca
= + +
+ + +
. 
2) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn 3p 4p 9− + là số chính phương. 
Câu 4. (7,0 điểm) 
1) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( )( )O AB AC và đường caoAD . 
Vẽ đường kính AE của đường tròn ( )O . 
a) Chứng minh rằng AD.AE AB.AC= . 
b) Vẽ dây AF của đường tròn ( )O song song với BC,EF cắt AC tại Q,BF cắt AD 
tạiP . Chứng minh rằng PQ song song với BC . 
c) Gọi K là giao điểm của AE và BC . Chứng minh rằng: 
A .CD.CKB.AC AD.AK BD.BK− = 
2) Cho tam giác ABC có BAC 90 ,ABC 20= = . Các điểm E và F lần lượt nằm 
trên các cạnh ,AC AB sao cho 
·
10ABE = o và 
·
30ACF = o . Tính 
·
CFE . 
Câu 5. (1,0 điểm) 
Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự 
nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi toán 
có tổng các số báo danh được mang chia hết cho 9. 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
16 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH HƯNG YÊN 
Đề số 12 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4 điểm) 
a) Cho hai số thực dương 𝑎, 𝑏 thỏa mãn:
1 1 1
.
a b 2018
+ = Chứng minh rằng: 
a b a 2018 b 2018+ = − + −
 b) Cho 𝑎 là nghiệm dương của phương trình 26x 3x 3 0+ − = 
Tính giá trị biểu thức
4 2
a 2
A
a a 2 a
+
=
+ + −
Câu 2. (4 điểm) 
a) Giải phương trình:
( ) 31 1 x 2 x x− − − = 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn: ( )
2 4 3 2x 2018 y 6y 11y 6y− = − + − 
Câu 3. (4 điểm) 
a) Giải hệ phương trình: 
( )
( )( )
2
2
x y
2x 1 2y 1
2
3x 2y y 1 4 x
 −
 + + + =
 + + = − 
b) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn
1
2 y z
x
+ = 2√𝑦 + √𝑧 =
1
√𝑥
. Chứng minh 
rằng:
3yz 5xy4zx
4
x y z
+ + 
Câu 4. (6 điểm) 
Cho đường tròn ( )O; R và điểm A cố đỉnh với OA 2R= ; đường kính BC quay quanh O sao 
cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng 
OA tại điểm thứ hai là I. Các đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 cắt (O;R) lần lượt tại điểm thứ hai là 𝐷 
và 𝐸. Gọi 𝐾 là giao điểm của 𝐷𝐸 với 𝑂𝐴. 
a) Chứng minh AK.AI=AE.AC 
b) Tính độ dài đoạn 𝐴𝐾 theo R 
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐷𝐸 luôn thuộc một đường thẳng 
cố định. 
Câu 5. (2 điểm) 
Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có 
tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số 
chính phương 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
17 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH KHÁNH HÒA 
Đề số 13 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 14/3/2018 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4,00 điểm) 
Giải phương trình ( )22 5x 3 x x 2 27 3 x 1 x 2+ + − = + − + + . 
Câu 2. (4,00 điểm) 
a) Chứng minh rằng 3 370 4901 70 4901− + + là một số nguyên. 
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có 
( )3 33
1 1 1 1
3
2 3 2 4 3 n 1 n
+ + + + 
+
. 
Câu 3. (2,00 điểm) 
Cho hai số thực x và y thỏa mãn 2 2x xy y 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 3P x y y x= + . 
Câu 4. (2,00 điểm) 
Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn 3 3p a b= − với a,b là hai số nguyên dương 
phân biệt. Chứng minh rằng nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được 
một số là bình phương của một số nguyên lẻ. 
Câu 5. (6,00 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi E,F lần lượt là các chân 
đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC . Đường tròn (I) đi qua E,F và tiếp xúc 
với BC tại điểm D . Chứng minh rằng 
2
2
DB
DC
BF.BE
CF.CE
= . 
Câu 6. (2,00 điểm) 
Trên bàn có ( )1n n ,n viên bi. Có hai người lần lượt lấy bi. Mỗi người đến lượt 
mình được lấy một số viên bi tùy ý (ít nhất 1 viên bi) trong những viên bi còn lại 
trên bàn, nhưng không vượt quá số viên bi mà người lấy trước vừa lấy, biết rằng 
người lấy đầu tiên lấy không quá 1n− viên bi. Người nào lấy viên bi cuối cùng 
được xem là chiến thắng. Tìm các số n sao cho người lấy trước có chiến lược thắng.
___________________Hết_________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
18 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH KIÊN GIANG 
Đề số 14 
(Đề thi có m